Постройте график функции y = -2x + 4|x| - x^2 и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно три общие точки.

Для решения задачи построим график функции $y = -2x + 4|x| - x^2$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая: 1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = -2x + 4x - x^2 = 2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$. Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(1; 1)$. 2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -2x - 4x - x^2 = -6x - x^2 = -(x^2 + 6x) = -(x^2 + 6x + 9 - 9) = -(x+3)^2 + 9$. Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке $(-3; 9)$. График состоит из двух частей: - Часть параболы $y = -(x-1)^2 + 1$ для $x \ge 0$. - Часть параболы $y = -(x+3)^2 + 9$ для $x < 0$. Прямая $y=c$ имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершины обеих парабол или через точку пересечения с осью $OY$. Вершины находятся в точках $(1; 1)$ и $(-3; 9)$. В точке $(0; 0)$ обе части графика соединяются, так как при $x=0$ в обоих выражениях $y=0$. Анализ: - При $c=1$ прямая пересекает вершину правой параболы $(1; 1)$ и левую ветвь — 2 точки. - При $c=9$ прямая пересекает вершину левой параболы $(-3; 9)$ — 1 точка. - График имеет локальный максимум в $(1;1)$ (значение 1), локальный минимум в $(0;0)$ (значение 0) и локальный максимум в $(-3; 9)$ (значение 9). Чтобы было ровно 3 точки пересечения, прямая $y=c$ должна проходить через вершину $(-3; 9)$ (где график имеет максимум) или через точку $(1; 1)$. **Ответ:** $c=1$ или $c=9$.