1089. Упростите выражение

Для упрощения выражения преобразуем его части, используя определение отрицательной степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Дано выражение: $$\frac{(ab^{-1} + a^{-1}b + 1) \cdot (a^{-1} - b^{-1})^2}{a^2b^{-2} + a^{-2}b^2 - (ab^{-1} + a^{-1}b)}$$ 1. Преобразуем числитель: Первая скобка: $ab^{-1} + a^{-1}b + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = \frac{a^2 + b^2 + ab}{ab}$. Вторая скобка: $(a^{-1} - b^{-1})^2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2 = (\frac{b-a}{ab})^2 = \frac{(b-a)^2}{a^2b^2}$. Числитель равен: $$\frac{a^2 + b^2 + ab}{ab} \cdot \frac{(b-a)^2}{a^2b^2} = \frac{(a^2 + b^2 + ab)(b-a)^2}{a^3b^3}$$ Заметим, что $(b-a)^2 = (a-b)^2$. Тогда числитель: $\frac{(a^2+b^2+ab)(a-b)^2}{a^3b^3}$. 2. Преобразуем знаменатель: $a^2b^{-2} + a^{-2}b^2 - (ab^{-1} + a^{-1}b) = \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$. Приведем к общему знаменателю $a^2b^2$: $$\frac{a^4 + b^4}{a^2b^2} - \frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{a^4 + b^4 - ab(a^2+b^2)}{a^2b^2}$$ 3. Это выражение довольно сложное. Попробуем упростить через замену: пусть $x = \frac{a}{b}, y = \frac{b}{a}$. Тогда выражение: $$\frac{(x + y + 1)(1/a - 1/b)^2}{x^2 + y^2 - (x+y)}$$ Проще привести всё к виду $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$. После алгебраических преобразований и сокращений выражение принимает вид: $$\frac{1}{ab}$$ Ответ: $\frac{1}{ab}$