Найти сумму корней из отрезка -0, 5; 1,5

Привет! Давай решим это уравнение вместе.

1. Преобразуем уравнение:

Нам дано уравнение cos²(πx + π/4) = 1/2. Чтобы его решить, сначала извлечем квадратный корень из обеих частей:

cos(πx + π/4) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

1. Решаем тригонометрическое уравнение:

Теперь у нас есть два случая:

• Случай 1: cos(πx + π/4) = √2/2

  πx + π/4 = ±π/4 + 2πk, где k - целое число.

• Случай 2: cos(πx + π/4) = -√2/2

  πx + π/4 = ±3π/4 + 2πn, где n - целое число.

• Находим решения для каждого случая:

• Случай 1:

  • πx + π/4 = π/4 + 2πk => πx = 2πk => x = 2k
  • πx + π/4 = -π/4 + 2πk => πx = -π/2 + 2πk => x = -1/2 + 2k

• Случай 2:

  • πx + π/4 = 3π/4 + 2πn => πx = π/2 + 2πn => x = 1/2 + 2n
  • πx + π/4 = -3π/4 + 2πn => πx = -π + 2πn => x = -1 + 2n

• Выбираем корни, принадлежащие отрезку [-1/2; 3/2]:

  Теперь нам нужно выбрать значения k и n так, чтобы корни x попадали в заданный отрезок.

  • x = 2k: Подходят x = 0 (k = 0)
  • x = -1/2 + 2k: Подходят x = -1/2 (k = 0), x = 3/2 (k = 1)
  • x = 1/2 + 2n: Подходит x = 1/2 (n = 0)
  • x = -1 + 2n: Подходит x = 1 (n = 1)

• Считаем сумму корней:

  Сумма корней, принадлежащих отрезку, равна: 0 + (-1/2) + 3/2 + 1/2 + 1 = 0 - 0.5 + 1.5 + 0.5 + 1 = 2.5

Ответ: 2,5